Найти экстремум функции \( u = x^2 - 8y \) при условии \( x^2 + y^2 = 9 \).
Ограничение: \( x^2 + y^2 = 9 \)
Составляем функцию Лагранжа:
\( L(x, y, \lambda) = x^2 - 8y + \lambda(9 - x^2 - y^2) \)
Находим частные производные и приравниваем к нулю:
\( \frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0 \)
\( \frac{\partial L}{\partial y} = -8 - 2\lambda y = 0 \)
\( \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 9 - x^2 - y^2 = 0 \)
Решаем систему уравнений:
Из первого уравнения: \( 2x(1 - \lambda) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) или \( \lambda = 1 \)
Рассмотрим два случая:
Из ограничения: \( 0 + y^2 = 9 \) ⇒ \( y = \pm 3 \)
Из второго уравнения: \( -8 - 2\lambda y = 0 \) ⇒ \( \lambda = -\frac{4}{y} \)
Для \( y = 3 \): \( \lambda = -\frac{4}{3} \), \( u = 0 - 8 \cdot 3 = -24 \)
Для \( y = -3 \): \( \lambda = \frac{4}{3} \), \( u = 0 - 8 \cdot (-3) = 24 \)
Из второго уравнения: \( -8 - 2 \cdot 1 \cdot y = 0 \) ⇒ \( y = -4 \)
Из ограничения: \( x^2 + 16 = 9 \) ⇒ \( x^2 = -7 \) - нет действительных решений
Точка \( (0, 3) \): \( u = -24 \) - условный минимум
Точка \( (0, -3) \): \( u = 24 \) - условный максимум